sábado, 28 de septiembre de 2013

Problema de selectividad de setiembre de 2013

Este problema es de hace menos de un mes, entró en la convocatoria de Andalucía de selectividad de setiembre de 2013. En él hay que hacer un estudio en profundidad de la primera derivada de la función
$$f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$$
$$f(x)=\frac{2\ln(x)}{x^2}$$
Aquí lo tenéis.

viernes, 27 de septiembre de 2013

Los cuatro cuatros

Muchos de vosotros conoceréis el juego que propongo en esta entrada, se llama los cuatro cuatros. Las reglas son muy fáciles, hay que intentar representar todos los números naturales que podamos usando sólo el número $4$, y además tiene que aparecer el $4$ exactamente $4$ veces. Las operaciones que podemos hacer son todas las que se puedan admitir con este número. Por ejemplo para representar el cero haríamos $$ 0= (4+4)-(4+4).$$
Como podéis observar la representación que obtenemos de cada número no es única, hay muchas combinaciones posibles para el mismo número, otra para el cero puede ser
$$0=(4\times4)-(4\times4).$$
Con este juego tan sencillo estuve divirtiéndome con un grupo de 5º de Primaria del Colegio Rico Cejudo. Los niños se lo pasaron estupendamente, la muestra es que estuvimos más de 20 minutos jugando a los cuatro cuatros. Os dejo el vídeo de la sesión. Ojalá estos chavales no pierdan nunca la ilusión por aprender y las ganas de divertirse que tienen ahora... haciendo matemáticas.
Gracias a ellos os puedo mostrar este vídeo.



sábado, 7 de septiembre de 2013

El problema del senderista

Un reconocido senderista un día decidió subir una montaña de 1 km de altura, saliendo desde el campamento base, situado a altura = 0 km a las 12 en punto del mediodía. La subida la comenzó a un ritmo frenético, estaba descansado y se sentía con fuerzas, pero al cabo de un tiempo comenzó a ir muy lentamente, incluso pudo llegar a descender unos metros, al final repuso fuerzas y ya no paró hasta alcanzar la cima. A media tarde, a eso de las 18 horas llegó a la cima algo cansado y decidió quedarse a pasar la noche en la montaña.
A la mañana siguiente, después de desayunar comenzó a bajar, dándose la casualidad que comenzó la caminata de regreso a las 12 en punto del mediodía, la misma hora a la que empezó a subir el día anterior. En la bajada apenas se detuvo y fue a un buen ritmo de descenso de forma que llegó al campamento base a las 14:30 horas.
Después de comer, tomándose un café con un compañero de montaña se le notaba algo intranquilo, como si en la montaña le hubiese pasado algo extraño.
“¿Qué te pasa?”, le preguntó su amigo.
“Verás _comenzó a contestar_ desde que he bajado la montaña esta mañana me encuentro con una extraña sensación. Resulta que en un instante de la bajada (no me acuerdo de la hora exacta) me dio la sensación de que el día anterior estuve allí exactamente a la misma hora, y me parece que eso es demasiada casualidad”.

¿Creéis que es casualidad lo que le ha pasado al senderista o siempre será así, independientemente de la altura de la montaña y del tiempo que tarde en bajar?.

Parece que es mucha casualidad lo que le ha ocurrido, y en una primera impresión creemos que no es cierto, pero después de pensar un buen rato, y hacer algunos dibujillos llegamos a la conclusión de que es cierto, que tarde lo que tarde en subir y en bajar habrá un punto donde se encuentra los dos días a la misma altura.
Para verlo os dejo la siguiente animación. Sobre unos ejes de coordenadas donde el eje de abscisas representa el tiempo y el de ordenadas la altura vamos a dibujar dos funciones "continuas", una representa la altura el día que subía y la llamamos $h_s(t)$ y va desde $t=0$ a $t=6$ horas partiendo de una altura $h_s(0)=0$ y llegando a una altura de $h_s(6)=1$. La otra, a la que llamaremos $h_b(t)$ representa la altura el día que bajaba respecto al tiempo empleado.



altura en función del tiempo

Una cosa que hay que tener en cuenta, es que ambas funciones son continuas, cosa lógica ya que para llegar a la altura deseada has tenido que recorrer las distintas alturas inferiores, bueno, a no ser que te pongan directamente en helicóptero en una altura determinada, pero esa no es la cuestión.
En fin, estamos ante dos funciones continuas en un intervalo cerrado $[0,6]$, lo tomamos de ese tamaño y tenemos en cuenta que la función que representa la bajada a partir de $t=2,5$ siempre vale cero, aunque esto no cambia el resultado.
Cuando estudié C.O.U. hace más de 20 años, nos mostraron en clase el "Teorema de Bolzano", que es un caso particular de "Teorema de los Valores Intermedios", el Teorema de Bolzano se puede enunciar como sigue:

Si $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y resulta que $f(a) \cdot f(b)<0$, es decir, son de distinto signo, entonces existe un punto $c\in(a,b)$ tal que $f(c)=0$.

Ahora bien, ¿cómo podemos aplicar este Teorema a nuestro problema?, pues definimos la función $f(t)=h_s(t)-h_b(t)$, que resulta que es continua al serlo las funciones que la componen, además se tiene que $f(0)=h_s(0)-h_b(0)=0-1=-1<0$ y $f(6)=h_s(6)-h_b(6)=1-0=1>0$, entonces estamos en las condiciones de Teorema de Bolzano, esto es, existe un punto $c\in(0,6)$ tal que $f(c)=0$. Pero
$$f(c)=h_s(c)-h_b(c)=0\Rightarrow h_s(c)=h_b(c),$$

y por tanto, el punto $c$ que está entre 0 y 6 es el punto en el que coincide la altura el día de la subida y el día de bajada.
Es una pena que en los planes de estudio actuales de 2º de Bachillerato, heredero natural del extinguido C.O.U., no se le de importancia a la teoría en matemáticas. Chicos, os perdéis cosas tan bonitas como esta.

Esta entrada participa en la Edición 4.123105 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas.

Problema de la convocatoria de junio 2013

En esta entrada voy a poner uno de los problemas de la convocatoria de junio de 2013 de Andalucía. Es un problema de cálculo de un límite en el que nos hacen pensar un poco, aunque no es complicado. Aquí está.

jueves, 5 de septiembre de 2013

domingo, 1 de septiembre de 2013

Cálculo de una integral por cambio de variable.

En el enlace de más abajo os dejo un problema de cálculo de una integral mediante el método de cambio de variable. Una ventaja que se presenta en este problema es que nos indica el cambio que debemos usar. El problema entró en setiembre de 2012. Aquí está.