domingo, 31 de agosto de 2014

Agua helada

En las últimas semanas las redes sociales han sido inundadas de vídeos donde aparece una persona que se tira un cubo de agua helada por encima. La idea surgió en una campaña de recogida de fondos para la investigación de la ELA (esclerosis lateral amiotrófica).
Las reglas son muy sencillas, quien se moja en el vídeo reta a otras tres personas a que hagan lo mismo, a la vez que los anima a que donen, 10 euros si aceptan el reto y 100 euros si no es así.
Durante el mes de agosto he tenido un grupo de alumnos de 3º de ESO a los que estaba preparando para sus exámenes de recuperación de matemáticas en septiembre. Uno de los puntos más importantes que se tratan en el currículo de 3º y 4º de ESO son las sucesiones. Para los que no lo conozcan una sucesión (en matemáticas) es un conjunto ordenado de números, que además a veces puede tener infinitos elementos, a los elementos de una sucesión se les llama con una letra y un subíndice, que nos indica el lugar que ocupa dicho número en la lista. Por ejemplo en la sucesión $A=\{2,4,6,8,\cdots \}$, podemos decir que el elemento que ocupa el lugar 1 es $2$, o también que $a_1=2$. De igual manera podríamos decir que $a_4=8$, etc. Toda sucesión debe estar bien definida, es decir, se podrá dar una regla, norma, etc., de manera que podamos deducir todos los elementos que forman dicha lista infinita de números.
Este concepto, que no me voy a extender más en explicar, es bastante abstracto para los alumnos, ya que les estamos hablando de una lista infinita por un lado, después le decimos que debemos obtener una norma que nos diga exactamente qué elemento ocupa cada lugar, por otro, osea, que seamos capaces de calcular $a_n\ $ sea quién sea el valor de $n$. Por último les decimos que vamos a poder sumar cierta cantidad de elementos de la sucesión, $a_1+a_2+\cdots+a_m$, de locos ¿verdad?.
Cuando estoy en clase incluyendo cualquier concepto siempre intento ponerle a los alumnos ejemplos que puedan tocar, o que de alguna manera sean de su interés.
Pues bueno, el otro día en clase les reté a que calculasen cuántas personas habían hecho el reto del cubo de agua helada después de 100 iteraciones en el juego.
Si nos fijamos en el juego, y suponiendo que todo el mundo acepte el reto, cuando empieza el reto comienza una persona, o lo que es lo mismo $a_1=1$, este se lo dice a tres, $a_2=3$, cada uno de estos a otros tres $a_3=3\times3=9$, y si hacemos un poco de cálculo observamos que cuando lleven 100 iteraciones habrá $a_{100}=3^{99}$. Esto no es más que una progresión geométrica de razón 3, la progresión geométrica es un caso particular de sucesiones en las que cada elemento viene dado por la potencia de un número, al que llamamos razón. El término general de una progresión geométrica es $a_n=a_1\cdot r^{n-1};\ n\in \mathbb{N}$, teniendo la razón y el primer elemento tenemos todos los miembros de la sucesión. Además podemos sumar un número finito de elementos de una progresión geométrica. Si llamamos $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ tenemos que
$$S_n=a_1\frac{r^n-1}{r-1}$$
En el caso del cubo del agua helada y suponiendo que todo el mundo acepte tenemos
$$S_{100}=1\cdot\frac{3^{100}-1}{3-1}$$
que son muchas personas mojadas por una buena causa.
Mediante este ejemplo conseguí mantener a los alumnos atentos a mis explicaciones y además aprendieron que las matemáticas sirven para cosas muy diversas, interesantes y curiosas.

martes, 1 de julio de 2014

Tarjetas mágicas

A finales de mayo, con motivo de la semana de la ciencia estuve en el CEIP Rico Cejudo de Sevilla dando unas charlas sobre MateMagia. Uno de los juegos que más gustó a los alumnos fue el de las tarjetas mágicas, en él usaba unas tarjetas donde aparecen los números de 1 al 63, aunque no en todas las tarjetas aparecen todos los números.
El juego consiste en que yo, de espaldas a la pizarra donde se proyectan las tarjetas, voy a adivinar el número que los alumnos han pensado. Para ello el dato que me tienen que dar es el número de la tarjeta donde aparece el número que ellos han pensado. Las tarjetas son las siguientes:

Tarjetas "mágicas"

Así por ejemplo, si los alumnos piensan en el número 19, a mí lo que me tienen que decir es "tarjeta 1, tarjeta 2 y tarjeta 5", y yo seguidamente les respondo "19".
Si analizáis un poco las tarjetas podéis descubrir el truco, bueno el hecho que hace que siempre se acierte. Realmente las tarjetas siguen el sistema binario. El primer número que aparece en cada tarjeta es una potencia del $2$, en la primera tarjeta tenemos $2^0=1$, en la segunda $2^1=2$, y así hasta la última en la que tenemos $2^5=32$. De manera que para adivinar el número (seguiremos con el 19) lo que hay que hacer es sumar el primer número de cada tarjeta en la que aparece: $19=16+2+1$.


Pues bien, yo llevaba el juego preparado para sorprender a los chavales, eran niños y niñas de 6º de Primaria, de 12 años como mucho. El que se quedó sorprendido fui yo. Cuando había hecho algunas adivinaciones, un alumno me dice que ha descubierto el juego. Yo le digo que para demostrarlo venga y adivine un número que le digan sus compañeros. Adivinó no sólo el número, sino todos los demás que le propusieron sus compañeros, además se puso a explicar el juego. Realmente maravilloso.
Os dejo el vídeo de la sesión donde se aprecia que el mago no fui yo, sino Raúl. 







jueves, 22 de mayo de 2014

Ojalá sea una imagen trucada


La imagen que veis arriba la he encontrado en Twitter, pero no puedo comprobar su autenticidad, ni lo voy a intentar, vaya a ser que descubra que es real.
En ella se aprecia a una concursante de un programa del modelo ¿Quién quiere ser millonario? de un país de habla hispana, que ha hecho uso del Comodín del público para que la ayuden a resolver la cuestión que se le propone en la pregunta. Se me plantean dos posibles causas de la respuesta del público:

  1. El público está compuesto en la mayoría por concursantes que participarán si es eliminada la concursante que está en la imagen.
  2. El modelo educativo que está vigente en el país de donde es el concurso NO funciona.
Que cada uno escoja la causa que más le guste.
¿Cuál sería la respuesta si hacemos esa pregunta en España?


Esta entrada participa en la Edición 5.4: Martin Gardner del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es Gaussianos.

lunes, 24 de marzo de 2014

Jugando con un almanaque

Como ya he escrito en distintas ocasiones, las matemáticas y la magia están muy próximas, de manera que nos podemos apoyar en conocimientos matemáticos para hacer magia y gracias a ésta se pueden llegar a entender mejor conceptos matemáticos.
En esta entrada os voy a presentar un sencillo juego, muy divertido y visual y de un gran impacto para el público.
Lo he usado con alumnos de 6º de Primaria y de 3º de ESO, el resultado fue similar, los niños se quedan sorprendidos al ver que les acierto un número a cada uno de ellos.
El juego es el siguiente:
Se le reparte a los alumnos un almanaque de un mes, pueden ser todos diferentes, de distintos meses y años. Los alumnos tienen que elegir dentro del almanaque un cuadro de 4x4 o de 3x3 números, como se presenta en la siguiente imagen:


Muy importante que sean los alumnos los que decidan el cuadrado que han elegido, y que si es posible, no se copien entre ellos para que así aumente la dificultad del juego.
Una vez que han elegido el cuadrado, el matemago comienza a pasarse por las mesas y les va escribiendo  a cada uno un número detrás de la hoja, los alumnos creen que es un número aleatorio.
Seguidamente los alumnos tienen que elegir un número de los de dentro del cuadrado, y tachar los números que se encuentran en la fila y la columna del número elegido, algo así:



Ahora eligen otro número y de nuevo tachan los que se encuentran el la misma fila y columna que el número elegido:


De nuevo, de los 4 que quedan disponibles eligen 1 y tachan los que están en su fila o columna:


Ya sólo les queda un número, pues también lo seleccionan:

Mientras que los alumnos van eligiendo los números hay que ir reforzándoles la idea de que son ellos, y sólo ellos los que están decidiendo qué números seleccionan. También hay que vigilar que no se confundan al tachar la fila y columna del número marcado.
Ahora se les pide que sumen los cuatro números que están sin tachar, recordándoles de nuevo que ellos has decidido los números, podían haber elegido otros.
Resulta que la suma de los cuatro números coincide con el número que el mago les puso al principio del juego a cada alumno.
Divertido, ¿verdad?.
Ahora vamos a explicar el juego. El mago lo que tiene que hacer, una vez que los alumnos han elegido el cuadrado es sumar el primer y el último número de una de las diagonales y multiplicarlo por dos, resulta que ese será el valor de la suma de los cuatro números elegidos por los alumnos. En el ejemplo que estamos poniendo se observa que la suma del primer y último número de cualesquiera de las diagonales es $27+3=30$ o $24+6=30$, luego al multiplicarlo por dos tenemos de resultado $60$, que efectivamente coincide con la suma de los números elegidos: $3+11+20+26=60$.
Esta casualidad se debe a la disposición de los números en una hoja de calendario. Si llamamos $n$ al primer número del cuadro elegido, el cuadro está formado por los números:
$$\begin{array}{llll}n&n+1&n+2&n+3\\n+7&n+8&n+9&n+10\\n+14&n+15&n+16&n+17\\n+21&n+22&n+23&n+24\\ \end{array},$$
donde podemos comprobar que, empecemos por el número que empecemos si seguimos el orden de elección presentado en el juego llegamos al número $4n+48$ que resulta que es el doble de la suma del primer y último número de cualesquiera de las diagonales $4n+48=2(2n+24)$.
También puede el alumno elegir un cuadro con 9 números $(3\times3)$, en este caso el número que le va a quedar al ir eliminando filas y columnas siguiendo las normas del juego será el triple del número que esté en el centro del cuadrado seleccionado.
Con juegos como este se pretende acercar un poco las matemáticas a los alumnos, ya que realmente es una disciplina que puede ser muy divertida, y seria.
En este vídeo estoy haciendo el juego con unos alumnos de Primaria del Colegio Rico Cejudo de Sevilla. Gracias a ellos por hacerme pasar una mañana tan divertida.







Esta entrada participa en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid

viernes, 21 de marzo de 2014

La magia como recurso educativo en 1º de ESO. La MateMagia.

La motivación de los alumnos es determinante para que aprendan los contenidos del currículo en todas las asignaturas de 1ºde ESO en general, y en el aula de matemáticas en particular. En este trabajo se analizan las causas de que la asignatura de matemáticas sea una de las asignaturas “hueso” del currículo de 1º de ESO. Nos apoyamos en autores para tratar de buscar los motivos por los cuales los alumnos están alejados de esta asignatura y a la vez aportar una solución a partir de la introducción del juego y la magia en el aula de matemáticas. Seguidamente y con la intención de conocer la opinión de los principales protagonistas del proceso de enseñanza aprendizaje se ha realizado un estudio de campo con alumnos de diferentes cursos para comprobar las creencias que tienen sobre las matemáticas y su motivación en el aula. También se ha contado con la opinión de expertos en el uso de juegos y magia en el aula para comprobar que, efectivamente, su introducción es beneficiosa para el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje, aunque no determinante. Por último se proponen actividades que, a nuestro juicio serán facilitadoras de lo anterior. Dichas actividades tienen un denominador común: hacer que las clases de matemáticas sean divertidas y a la vez serias. Saber más.

viernes, 14 de marzo de 2014

Problema de selectividad de cálculo de una primitiva

En este problema tenemos que calcular la primitiva de la función $f(x)=\ln(x^2+1)$ que pasa por el origen de coordenadas, osea que primero calculamos la primitiva y después tenemos que encontrar un valor para la constante de integración. Recordemos que la primitiva de una función no es única, es una familia de funciones. Aquí tenéis el problema.

viernes, 7 de marzo de 2014

Error de cálculo en la prensa

Es habitual encontrarse en noticias de prensa errores de cuentas, pues a veces, quienes escriben las noticias no contrastan los datos que les aporta el entrevistado, o simplemente se equivocan en las cuentas.
Esta vez he detectado un error en la edición digital del Diario Sur en una noticia respecto al impuesto del llamado "céntimo sanitario" de los hidrocarburos. La noticia en cuestión habla de una empresa a la que le tienen que devolver 4,2 millones de euros por este impuesto.
El último párrafo de la noticia dice
             
          "La empresa con base en Antequera tiene 2.180 trabajadores y una flota de 1.600 camiones en régimen de leasing. A diario las rutas que cubre la flota en toda España suponen 600.000 kilómetros, una media de 20.000 kilómetros por vehículo."

He intentado hacer las cuentas y no las entiendo. Si tiene 1.600 camiones y a diario la flota cubre 600.000 kilómetros, creo que la media por camión y día será $\frac{600.000}{1.600}=375\ km \times\ día\  \times\ camión$. Por otro lado sería un poco raro que un camión recorriese de media 20.000 kilómetros al día, teniendo en cuenta los límites de velocidad de las carreteras españolas.
Por eso pensé que se referían a que el dato de 20.000 kilómetros por camión se refería al año, entonces tendría que coincidir con $375\times240$ (he supuesto que un camión circula 5 días a la semana, unos 20 días al mes), pero resulta que $375\times240=90.000$, osea que tampoco me cuadra por ahí.
Tampoco puede ser lo que recorre un camión en un mes, pues serían 1.000 kilómetros por día (si circula 20 días al mes).
Creo que la cifra de 375 kilómetros por camión y día sí es una cifra factible, aunque no puedo considerarla correcta como ninguna otra de las que salen en la noticia.
Por último, con los datos que nos dan como nos sale de media por camión y día 375 kilómetros, si hacemos la división $\frac{20.000}{375}$ resulta que un camión recorre 20.000 kilómetros en 53 días y una mañana más.
Curioso que esa sea la unidad de medida para la noticia.

lunes, 3 de marzo de 2014

Cálculo del área de una región limitada por dos funciones

Este problema es un clásico en las pruebas de Selectividad. En él tenemos que calcular el área de una región, que previamente tendremos que esbozar, limitada por la gráfica de dos funciones. En este caso se añade la dificultad de que una de las funciones viene determinada como un valor absoluto. Hay que calcular el área de la región delimitada entre las funciones $f(x)=|x(x-2)|$ y la función $g(x)=x+4$.
Aquí lo tenéis.

miércoles, 26 de febrero de 2014

La bruja adivina

Los profesores de matemáticas tenemos que tratar que los alumnos no se aburran en clase, pues si eso ocurre se desconectan (of line) y cuando presten de nuevo atención a la explicación les parecerá que estamos hablando en chino. Para ello debemos conseguir que las clases sean, a la vez que serias en los conceptos, divertidas en la presentación de los mismos. DIVERTIDO NO ES LO CONTRARIO DE SERIO, SINO DE ABURRIDO.
Tenemos que estar constantemente ideando recursos y técnicas para conseguir tener enganchados a los alumnos.
Una buena propuesta es el uso de la magia como recurso educativo en la ESO. Hay multitud de juegos mágicos que tienen trasfondo matemático y si se usan en la unidad didáctica oportuna ayudarán a explicar los conceptos, o también a divertirnos con las aplicaciones de un concepto que hemos aprendido.
A continuación os dejo un recurso muy divertido, cuyos autores son Cobo Mérida y Berenguer Maldonado. Si pincháis en el dibujo os podréis descargar el archivo con el juego.
Las reglas son muy sencillas, los alumnos sólo tienen que elegir un número de dos cifras y restarle la suma de éstas (por ejemplo si eligen el 45 le restan 4+5, 45-(4+5)=36), después se fijan en el símbolo que hay en el número que les da de resultado (36), al pasar la página la bruja adivinará el símbolo. ¿Magia o matemáticas?, un poco de cada.

pincha para descargar el juego



Esta entrada participa en la Edición 5.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.